复合材料点阵夹芯结构模态及阻尼分析用固-流一体均匀化计算模型-HTML全文-工程材料与结构-科学足迹出版社(SFP)

复合材料点阵夹芯结构模态及阻尼分析用固-流一体均匀化计算模型

司丙麒, 李苗苗, 李根, 马子豪, 洪毅^*

(哈尔滨工业大学复合材料与结构研究所, 哈尔滨 150001)

摘要: 复合材料点阵夹芯结构作为一种周期性多孔材料, 具有优异的承载性能和功能特性, 在船舶上具有良好的应用前景。而点阵中的微结构极大地增加了模型预报计算量, 不利于开展仿真计算和分析。为解决此问题, 本文提出了一种固-流一体均匀化计算模型, 通过将点阵单胞内的固体和流体同时均匀化, 求解出等效弹性系数及阻尼损耗因子, 降低了网格的复杂程度和计算量。计算结果表明, 基于固-流一体均匀化的模态分析, 计算所需存储空间及时间均有显著降低, 同时模态固频预报误差在1. 7%以内, 模态阻尼损耗因子预报误差在4. 2%以内, 验证了模态固频及阻尼预报的一致性。试验测试结果表明, 基于固-流一体均匀化的模态分析与试验测试结果相比, 模态固频预报误差在12%以内, 模态阻尼损耗因子预报误差在17%以内, 满足工程应用要求。该方法能够针对复合材料点阵夹芯结构浸没于水中的复杂情形进行高效、准确的分析, 有利于进一步开展复合材料点阵夹芯结构水下模态应用预报和性能优化。

关键词: 复合材料, 点阵结构, 固-流一体均匀化, 模态分析, 模态阻尼

DOI: 10.48014/ems.20251103001

引用格式: 司丙麒, 李苗苗, 李根, 等. 复合材料点阵夹芯结构模态及阻尼分析用固-流一体均匀化计算模型[J]. 工程材料与结构, 2025, 4(3): 64-73.

文章类型: 研究性论文

收稿日期: 2025-08-03

接收日期: 2025-09-13

出版日期: 2025-09-28

1　引言

振动噪声在船舶航行过程中不可避免，不仅会影响船舶的航行安全和使用寿命，干扰船员的身体健康，还会降低舰船的隐身性能。船舶的振动噪声来源有机械设备噪声、推进系统噪声^[1^]、通风管路系统噪声等。传统船舶建造常用金属材料，其高强度和高刚度等优势推进了该材料的广泛应用，但是金属材料声阻尼性较差，这是导致振动噪声严重的重要原因。相较于金属材料，复合材料不仅比强度、比刚度高，耐海水腐蚀，可设计，更重要的是其阻尼性能好，因此，在船舶设计建造中使用复合材料，可以在不改变结构设计的基础上，实现船舶的减振降噪^[2^]。

为进一步优化结构件的力学性能，提高轻量化程度，复合材料夹芯结构应运而生。夹芯结构将几何外形不变的结构体分为面板和芯子两个部分^[3^]，基于芯子拓扑结构，夹芯结构主要有点阵夹芯结构、蜂窝夹芯结构、褶皱夹芯结构等类型。其中点阵夹芯结构可以同时满足结构性能和多功能性要求，且因其优异的承载能力，以及兼具实现散热、减振、吸能、降噪等其他功能的潜质，被视为集材料、结构和功能设计等众多因素于一身的新一代胞元多孔材料^[4^]。根据单胞的几何类型，点阵夹芯结构可分为四面体型、金字塔型、Kagome型等诸多类型^[5^]。

由于复合材料点阵夹芯结构具有上述性能优势，近年来受到了研究人员的广泛关注，不少学者围绕其制备方法、力学响应与声学特性展开了研究。吴林志等人^[6-12^]系统地研究了多种拓扑形式的复合材料点阵夹芯结构的制备工艺和力学性能，提出了热压模具二次成型制备工艺，测试了金字塔型、四面体型、Kagome型等点阵结构的侧压、弯曲、剪切、屈曲失稳、振动、抗冲击性能等力学性能，给复合材料夹芯结构的研究提供了很好的研究思路和研究范式。娄佳^[13^,14^]对点阵夹芯结构的弯曲性能、屈曲特性及自由振动特性进行了研究。杨金水^[15-17^]基于有限元法和模态应变能法研究了夹芯结构复合材料的振动及阻尼性能。周志伟^[18^,19^]研究了含点阵增强柱和空腔的复合材料夹芯板的水下声振特性，建立了多相复合ELRCC芯层的多层次等效模型，形成了快速便捷的解析求解方法。Alam和Asnani^[20^]利用弹性-粘弹性对应原理研究了矩形层合板的阻尼特性。Talbot和Woodhouse^[21^]在经典层合板理论的基础上，将单层板的弹性常数和阻尼常数累加得到层合板的阻尼常数。Wang等^[22^]通过3D打印技术制备了Kagome型点阵夹芯结构，并用黏弹性材料热固性聚氨酯来填充芯层空隙，提出了一种针对混杂点阵结构的新型复模态有限元计算方法。Guan等^[23^]提出了一种针对周期性夹芯板振动分析的均质化方法，基于等效单层(ESL)理论和有限元模态应变能(FE-MSE)方法，计算得到结构的固有频率、振型和阻尼损耗因子，并通过试验验证了均质化方法的有效性。

目前，国内外学者对复合材料点阵夹芯结构的性能研究以基础力学性能为主，对于振动及阻尼性能研究得较少，特别是涉及到水下环境中的振动及阻尼性能计算。由于点阵夹芯具有复杂的微小结构，通过有限元法直接求解在计算上往往要付出很大代价。因此，本文聚焦于提出一种适合于复合材料点阵夹芯结构在水下环境中振动及阻尼的均匀化计算方法，降低计算成本，提高复合材料点阵夹芯结构水下振动性能预报的效率，并采用3D打印技术，将数值仿真和试验测试相结合，研究复合材料点阵夹芯结构的水下振动特性，为船舶上复合材料构件的减振设计提供参考。

2　固-流一体均匀化计算方法

复合材料点阵夹芯梁水下模态计算模型如图1所示。该问题的难点在于，点阵单胞中的结构尺寸相较于整个试件的尺寸过于微小，这就要求结构以及邻近的流体域必须按照单胞中微结构的尺寸划分网格，极大地增加了计算量。降低网格数量的一个有效途径是将单胞做均匀化，将整个单胞等效地视为一种均匀材料，省略掉了其中的微结构，从而达到降低网格数量，减小计算量的目的。纯固体的均匀化方法已经比较成熟，本节重点关注点阵结构处于流体中的情况，提出一种固-流一体均匀化模型，特别是给出了如何求解模态阻尼损耗因子的计算流程。

图1　复合材料点阵夹芯梁水下计算模型

Fig.1　Underwater calculation model of composite material lattice sandwich beam

2.1　均匀化弹性系数求解

各向同性固体的弹性波方程为

(λ+μ)ÑÑ·u+μu-ρ₀=0(1)

其中u为位移，ρ₀为固体静止时的密度，λ，μ为弹性体的Lamé系数，它们与体积模量K、剪切模量G之间存在如下关系

λ=K+μ，μ=G(2)

在纯粹的声学问题中，流体不发生流动，只在其附近微小的区域内振动，因此根据流体在不发生流动时无法承受剪切力的基本假定，可以假设

G=0(3)

从而

λ=K，μ=0(4)

或按弹性系数关系等价地设定杨氏模量和泊松比为

v→0.5，E=3(1-2v)K(→0)(5)

于是，若将固体设置为剪切模量为0，同时体积模量是一有限值，则其波动方程(1)将成为

ÑÑ·u-=0(6)

另一方面，无黏流体的连续性和动量方程为

(7)

其中ρ为流体的密度，p为流体的压强，v为速度。将其线性化可得

(8)

其中ρ'=ρ-ρ₀，p'=p-p₀，p₀为流体静止时的压力。结合物态方程

ρ'=p'(9)

其中c₀为流体声速，可得

ÑÑ·v-=0(10)

流体的声速与体积模量、密度之间存在如下关系

c₀=(11)

于是式(10)可改写为

ÑÑ·v-=0(12)

将式(6)对时间t求导即可得式(12)。这说明在不涉及流体流动，只考虑声波传递的问题中，可将流体与体积模量是一有限值且剪切模量为0的固体视为等价的。即，可以将流体用剪切模量为0，且体积模量是一有限值的固体代替，再进行线性振动或声学问题分析。在实际进行有限元计算时，将流体域部分设置为近似不可压缩固体即可开展相应计算。

对于声固耦合线弹性问题，将流体视为固体后，可以对其进行均匀化操作计算等效弹性系数。为此，只需要依次指定边界位移条件，反解出此时的应力响应，即可获得均匀化等效弹性系数。线弹性本构方程为

=(13)

以计算C₁₁~C₁₆为例，令边界位移为

(14)

解出结构的体平均应力响应<σ>，再与ε作比即得C₁₁~C₁₆。其余等效弹性系数C₂₁~C₂₆、…、C₆₁~C₆₆同理，分别令位移满足

(15)

即可类似求得其余弹性系数。

2.2　均匀化阻尼损耗因子求解

图2　点阵单胞均匀化过程

Fig.2　Homogenization process of lattice unit cells

接下来从模态应变能的角度出发确定点阵单胞的均匀化等效阻尼损耗因子。首先将结构分为三部分:无需做均匀化的固体部分S、均匀化的固体部分HS、均匀化的流体部分HF，如图2所示。则按模态应变能方法计算模态阻尼损耗因子的公式应为

η=(16)

即流体部分不会参与到阻尼计算中。而若考虑将HS与HF部分一并做均匀化后的等效区域H，则为

=(17)

对于结构的同一模态，有

η=(18)

以及

U_H=U_HS+U_HF(19)

于是由式(16)~(19)解出均匀化区域的材料阻尼为

η_H=η_S+
η_HS(20)

式(20)表明，必须要计算出无阻尼条件下的各部分应变能U_S，U_H，U_HS，才能反推出均匀化部分的阻尼。这是因为流体域部分本不应计算应变能，但将其视为固体后其就必然存在一部分应变能，因此在计算均匀化模型的阻尼时必须将这部分能量剔除，才能得到正确结果。

然而，由于固体与流体混合的部分已经做过均匀化，无法直接获得其中固体部分的应变能U_HS，必须通过均匀化后的应变能U_H推出U_HS。在线性变形情况下，对于同一应变能分量，需要做均匀化的固体域应变能U_HS和视为固体的流体域应变能U_HF之比只与材料本身性能以及几何参数相关，因而对于确定的结构而言是一定值。以图2所示的金字塔型点阵结构为例，其中固体部分使用的材料为SLA光敏树脂，流体部分材料为水。依次施加x方向、y方向、z方向、x与y方向组合、x与z方向组合、y与z方向组合6种单位载荷，计算该结构中固体应变能与均匀化材料应变能各个分量之比

r_x=r_y==0.087597，

r_z==0.099515，

r_xy==0.080531，

r_xz=r_yz==0.084089(21)

其中，表示施加x方向单位载荷时均匀化固体域HS部分的应变能，表示施加x方向单位载荷时均匀化等效区域H的应变能，其他5种给定载荷的记号含义类似。

由于流体域几乎无法承受剪切力，故其应变能中不存在剪切变形的部分，于是U_HS可由U_H按下式计算

U_HS=U_HS_，x+U_HS_，y+U_HS_，z+
2U_HS_，yz+2U_HS_，xz+2U_HS_，xy
U_HS_，x=C₁₁ε_xε_xdV+
C₁₂ε_xε_ydV+C₁₃ε_xε_zdV
U_HS_，y=C₁₂ε_xε_ydV+
C₂₂ε_yε_ydV+C₂₃ε_yε_zdV
U_HS_，z=C₁₃ε_xε_zdV+
C₂₃ε_yε_zdV+C₃₃ε_zε_zdV
U_HS_，yz=C₄₄ε_yzε_yzdV
U_HS_，xz=C₅₅ε_xzε_xzdV
U_HS_，xy=C₆₆ε_xyε_xydV(22)

当要均匀化的流体域的体积模量远小于固体域的模量时，则可以视固体的流体域应变能U_HF和均匀化后应变能U_H之比为0，这种情况一般出现在可压缩流体中。此时U_H≈U_HS，于是可直接取

η_H=η_HS(23)

这就是点阵结构在空气中做均匀化时，均匀化后的阻尼损耗因子与均匀化前保持一致的原因。

按照以上计算方法，总结如图3所示复合材料点阵夹芯结构水下振动模态计算流程。

图3　复合材料点阵夹芯结构水下振动模态计算流程图

Fig.3　Flowchart for underwater vibration modal calculation of composite material lattice sandwich structure

3　计算与试验结果对比分析

3.1　仿真方法与结果

结构水下振动模态问题属于声-固耦合问题，基于有限元法的声-固耦合方程为

++
=(24)

其中M，C，K分别为质量、阻尼、刚度矩阵，R表示流固耦合作用的矩阵，f表示外载荷，下标s表示固体域，f表示流体域，u为固体域的位移，p为流体域的声压。本文所考虑的模态分析问题，可将问题进一步简化成不涉及时间项的特征值计算问题

=(25)

求解模态后，按Hwang-Gibson模型计算第k阶模态阻尼损耗因子^[24^]

η_k=(26)

U_k=U_pp_，k，ΔU=2πη_ppU_pp_，k(27)

其中，U_k表示结构第k阶模态振动的应变能，η_k表示第k阶模态振动的阻尼损耗因子，U_pp_，k表示结构第k阶模态振动的应变能各分量，η_pp表示材料阻尼损耗因子参数各分量，p=1，2，6表示面内分量，p=3，4，5表示层间分量。此外，还需要考虑声辐射产生的附加阻尼^[25^]

Δη_k==(28)

其中E_R表示一个周期内结构振动向介质辐射的声能，E_V表示结构振动的动能，W表示辐射声功率，按下式计算

W= Re dS(29)

其中V_n表示结构表面振动的法向速度。

考虑如下算例:设定点阵夹芯结构部分的单胞为图2所示的金字塔型结构，单胞大小为8mm×8mm×3mm，杆件为截面半径0.5mm的圆柱，两侧支撑平台厚度均为1.5mm。两侧支撑平台上分别铺设1mm厚的碳纤维/玻璃纤维/芳纶纤维增强树脂基复合材料，纤维走向为0°。整个梁的尺寸为160mm×16mm×8mm，令边界条件为悬臂梁，左端夹持20mm，右端自由，并增加3.8 g附加质量以模拟加速度传感器及水密封胶产生的影响，如图4所示。整个结构置于水环境中，用到的材料性能参数如表1所示。

图4　复合材料点阵夹芯梁铺层及边界条件

Fig.4　Composite material lattice sandwich beam layup and boundary conditions

表1　材料性能参数

Table 1　Material performance parameters

材料类型	密度 ρ/kg·m^-3	杨氏模量/GPa				泊松比				剪切模量/GPa
		E₁		E₂	E₃	ν₁₂			ν₂₃	G₁₂			G₂₃
碳纤维	1535	123		7.63		0.30			0.30	6.92			2.93
玻璃纤维	1827	37.2		12.5		0.27			0.37	5.56			4.56
芳纶纤维	1329	43.6		3.44		0.43			0.44	2.12			1.19
SLA光敏树脂	1300	2.46				0.23				1.00
均匀化部分	1020	0.0263			0.0363	0.59		0.36		0.0150		0.0233
材料类型			阻尼损耗因子/%
			η₁₁				η₂₂=η₃₃				η₄₄=η₅₅=η₆₆
碳纤维			1.208				2.106				1.832
玻璃纤维			0.745				1.770				1.966
芳纶纤维			1.840				7.039				2.594
SLA光敏树脂			4.125

均匀化部分阻尼参数与各阶模态相关，需要按图3流程独立计算。按以上条件，计算相应复合材料点阵夹芯梁及其均匀化模型在水中的模态固频及阻尼，结果如表2所示。

计算结果表明，各种不同纤维增强复合材料点阵夹芯梁的前2阶横向振动模态，对点阵进行均匀化后的计算结果与原始模型的计算结果相比，模态固频的预测误差能控制在1.7%以内，模态阻尼损耗因子的预测误差能控制在4.2%以内，证明了这种固-流一体均匀化的计算模型与原模型保持了较好的一致性。

同时，对于同一算例，在网格划分精度相同的前提下，原始模型计算耗时5h30min，而均匀化模型计算仅耗时2min;原始模型网格中包含94432个顶点，365913个单元，而均匀化模型网格中仅包含30497个顶点，86851个单元，同时大幅度减少了流固耦合界面单元。无论是计算时间还是存储空间，固-流一体均匀化模型都极大程度节约了计算成本。

表2　原始模型及均匀化模型计算结果

Table 2　Calculation results of original model and homogenization model

纤维种类	横向振动模态阶数n	模态固频f_n/Hz			模态阻尼损耗因子η_n/%
纤维种类	横向振动模态阶数n	原模型	均匀化	相对误差	原模型	均匀化	相对误差
碳纤维	1	176.90	179.60	1.526%	7.529	7.373	-2.072
	2	715.12	716.14	0.1426%	7.525	7.596	0.9435%
玻璃纤维	1	133.19	131.00	-1.644%	5.046	4.836	-4.162%
	2	624.10	630.96	1.099%	7.152	7.217	0.9088%
芳纶纤维	1	141.21	139.51	-1.204%	7.082	6.924	-2.217%
	2	554.16	561.06	1.245%	8.384	8.437	0.6322%

3.2　试验方法与结果

本文还开展了水下模态测试试验，通过锤击法进行，并对传感器和力锤进行了水密封，如图5所示。用夹具夹住试验件的一端，在另一端粘贴接触式加速度传感器，按图5连接所有仪器。事先计算和设计好夹持位置、力锤激励点和加速度传感器布点，用力锤敲击激励点，获得加速度-时间信号曲线和激励力-时间信号曲线。对信号曲线施行Fourier变换，获得频响函数曲线。最后进行参数辨识，获得模态固有频率、模态阻尼、模态振型等参数，如图6所示。

按3.1节中的算例，对相同的试验件进行测试。将测试结果与固-流一体均匀化仿真计算结果相对比，结果如表3所示。结果表明，固-流一体均匀化计算模型具有较好的模态固频、模态阻尼预报能力，模态固频的预报误差能控制在12%以内，模态阻尼损耗因子的预报误差能控制在17%以内。证明了计算模型的正确性和有效性。

图5　水下模态试验平台示意

Fig.5　Schematic diagram of underwater modal testing platform

图6　参数识别流程

Fig.6　Parameter recognition process

表3　试验测试与仿真计算结果

Table 3　Experimental testing and simulation calculation results

纤维种类	模态固频f₁/Hz			模态阻尼损耗因子η₁/%
纤维种类	试验	仿真	相对误差	试验	仿真	相对误差
碳纤维	161.08	179.60	11.50%	7.705	7.373	-4.309%
玻璃纤维	135.82	131.00	-3.549%	5.084	4.836	-4.878%
芳纶纤维	136.37	139.51	2.302%	8.321	6.924	-16.79%

4　结论

本文针对复合材料点阵夹芯结构的水下模态计算问题，提出了一种固-流一体均匀化模型。该模型通过将复杂的流体-点阵细观结构等效为均匀材料，计算出其等效弹性系数与阻尼损耗因子，从而显著简化了计算模型。

不同于传统均匀化方法主要针对固体域，本文提出的固-流一体均匀化方法的特点在于，针对复杂点阵结构浸没于流体的情形，能够同时考虑固体域和流体域进行一体均匀化等效，特别是给出了等效阻尼损耗因子的计算方法，从而可以开展复合材料点阵夹芯结构浸没于流体中的湿模态分析。

针对固-流一体均匀化模型的研究结果表明:

(1)计算效率显著提升。采用固-流一体均匀化模型后，算例复合材料点阵夹芯梁的网格顶点数从94432个降至30497个，单元数从365913个降至86851个，流固耦合界面单元数量大幅降低，模态分析计算时间从5h30min大幅缩短至2min，极大地降低了问题的求解规模与复杂度，使工程中水下复合材料点阵夹芯结构的快速设计与进一步的参数优化成为可能。

(2)模型计算精度良好。基于固-流一体均匀化的复合材料点阵夹芯梁计算模型与原模型的计算结果对比显示，模态固频的预测误差在1.7%以内，模态阻尼损耗因子的预测误差在4.2%以内，证明了固-流一体均匀化的模型的与原模型在力学性能与报上保持了较好的一致性。

(3)方法有效性得到试验验证。将基于固-流一体均匀化模型的计算结果与水下模态试验数据对比，模态固频预报误差控制在12%以内，模态阻尼损耗因子预报误差控制在17%以内。该结果在工程可接受范围内，证明了本文所提出的固-流一体均匀化计算模型的正确性和有效性。

(4)需要指出的是，基于本研究提出的固-流一体均匀化模型的水下模态预测精度存在进一步提升的空间。传感器水密封引入额外附加质量以及样件制作时引入的缺陷是导致固频预报产生误差的主要原因;另一方面，目前对纤维增强复合材料的阻尼随频率变化的性质，以及流体粘性在结构振动模态中起到何种作用尚未考虑，这是导致最牛预报产生误差的主要原因。在未来的工作中，应进一步提高试验和仿真计算的精度，同时更加完善地考虑系统中固体和流体的阻尼作用机理。

利益冲突: 作者声明没有利益冲突。

^{^[②]} *通讯作者　Corresponding author:洪毅，hongyi@hit.edu.cn
收稿日期:2025-08-03;　录用日期:2025-09-13;　发表日期:2025-09-28
基金项目:本项研究得到了国家重点研发计划项目(资助号:2024YFB3712903)的资助。

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A Solid-Fluid Integrated Homogenization Computational Model for Modal and Damping Analysis of Composite Lattice Sandwich Structures

SI Bingqi, LI Miaomiao, LI Gen, MA Zihao, HONG Yi^*

(Center of Composite Materials and Structure, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Abstract: As a type of periodic porous material, composite lattice sandwich structures exhibit excellent loadbearing capacity and functional characteristics, showing promising application prospects in marine engineering. However, the micro-structures within the lattice substantially increase the computational cost of model prediction, which hinders efficient simulation and analysis. To address this issue, this paper proposes a solid- fluid integrated homogenization model. By simultaneously homogenizing the solid and fluid within the lattice unit cell, the equivalent elastic coefficients and damping loss factors are solved, reducing mesh complexity and computational cost. . The calculation results show that modal analysis based on the solid-fluid integrated homogenization approach significantly reduces the required memory storage and computation time. Moreover, the prediction errors for modal natural frequencies remain within 1. 7%, while those for modal damping loss factors are within 4. 2%, confirming the consistency of the predicted modal frequencies and damping characteristics. Experimental results show that the proposed homogenization-based modal analysis achieves errors within 12% for modal natural frequencies and within 17% for modal damping loss factors compared with test data, which meets the requirements for engineering applications. The proposed method enables efficient and accurate analysis for composite lattice sandwich structures immersed in water, thus facilitating further application in the prediction of underwater modal responses and performance optimization.

Keywords: Composites, lattice structure, solid-fluid integrated homogenization, modal analysis, modal damping

DOI: 10.48014/ems.20251103001

Citation: SI Bingqi, LI Miaomiao, LI Gen, et al. A solid-fluid integrated homogenization computational model for modal and damping analysis of composite lattice sandwich structures[J]. Engineering Materials and Structures 2025, 4(3): 64-73.