集值向量优化问题E-超有效解的非线性标量化刻画
(内蒙古大学数学科学学院, 呼和浩特 010021)
摘要: 在向量优化问题研究中, 基于序锥定义的 (弱) 有效解的概念及其性质具有十分重要的作用。超有效解的概念是对已有的几种真有效解的概念的统一, 而基于改进集而提出的向量优化问题的E-超有效解是对经典的超有效解概念的重要推广, 它统一了超有效性和ε-超有效性的概念。因此, 研究E-超有效解及其相关性质对研究向量优化问题具有十分重要的意义。本文主要对E-超有效解非线性标量化的相关条件进行研究: 首先通过半范数p的相应性质得到集值向量优化问题的E-超有效解非线性标量化的一个充要条件; 其次利用距离函数d的相关性质得到E-超有效解非线性标量化的另一个充要条件; 再次根据E-最优解与E-超有效解之间的关系, 在E=E+K0的条件下通过基于改进集E的面向距离函数Δ-E得出E-超有效解非线性标量化结果的一个充分条件; 最后, 在0∈clE的条件下利用面向距离函数Δ-E得出E-超有效解非线性标量化结果的一个必要条件, 并推导出相应的充要结果。
关键词: 集值向量优化, 改进集, E-超有效解, 非线性标量化, 半范数, 面向距离函数
DOI: 10.48014/fcpm.20230420001
引用格式: 罗凤雅, 李飞. 集值向量优化问题E-超有效解的非线性标量化刻画[J]. 中国理论数学前沿, 2023, 1(1): 14-20.
文章类型: 研究性论文
收稿日期: 2023-04-23
接收日期: 2023-05-18
出版日期: 2023-06-28
0 引言
向量优化问题的相关研究在运筹与优化领域扮演着十分重要的角色。在向量优化问题求解中，在序锥上定义的(弱)有效解及其相关性质对向量优化问题的求解过程尤为重要。然而，有效解都是关于某种偏序的非劣意义下的解，其中的一些解的性质比较差，因而人们一直寻找具有更好特征的有效解——真有效解。到目前为止，相关学者已经提出了各种形式真有效解的概念，例如Benson真有效解、Henig真有效解、超有效解、严有效解、强有效解、Borwein真有效解等。其中，1991年Borwein等在文献[1]中首次提出的超有效解统一了已有的几种真有效解的概念。之后更多学者相继得到了超有效解的各种性质(见文献[2-7])。2003年邵建英在文献[8]中首次引进了ε-超有效解。2011年Chicco在文献[9]中提出改进集的概念并在此基础上定义了E-最优点，从而扩展了向量优化问题真有效解的范围。改进集是研究向量优化问题精确与近似解及其性质的重要工具，它在统一框架下对各类解进行研究推广，很多学者在此基础上得到了更多基于改进集定义的真有效解及相关性质(见文献[10-11])。2016年周志昂等人在文献[12]中首次提出针对集值向量优化问题的E-超有效解，它的提出统一并推广了超有效解和ε-超有效解。随后，林安于2018年在文献[13]中得到了
-超有效解的最优性条件。2022年白霞等在文献[14]中利用基于改进集的Gerstewitz泛函及面向距离函数
推导出包含-超有效解在内的几类真有效解关于非线性标量化刻画的相关结果。2003年ZAFFARONI在文献[15]中利用基于锥
的面向距离函数
对超有效解进行非线性标量化刻画。2014年周志昂等在文献[16]中利用半范数
的性质对集值向量优化问题的
-超有效解进行非线性标量化刻画。2013年秦晨在文献[17]中将基于改进集的-最优点概念推广到一般的拓扑线性空间并得到-最优点的相关性质。在文献[15-17]的启发下，本文首先利用半范数和距离函数
的性质对-超有效解进行非线性标量化刻画。然后根据-最优解与-超有效解之间的关系，在基于改进集的面向距离函数刻画下进一步得出-超有效解的非线性标量化结果。
1 预备知识
设Y是赋范线性空间，0是空间Y中的零元。设A是Y中的非空集合，coneA代表集合A的锥包，coneA:=
，intA、clA、bdA和Y\A分别代表集合A的内部、闭包、边界和补集。若A是凸集且0∉clA，称A为coneA的基。若∀a1，a2∈A，λ∈[0，1]，有λa1+(1-λ)a2∈A，则称A是凸集。A是均衡的当且仅当∀x∈A，λ∈[-1，1]，λx∈A。A是可吸收的当且仅当0∈intA。若A满足λA⊆A，λ≥0，则称集合A是锥。A是凸锥当且仅当A+A⊆A。A是点锥当且仅当A∩(-A)={0}。R是实数集，记
:={r∈R|r≥0}。
令K是Y中的一个闭凸点锥，K0:=K\{0}，N(0)是Y中的零邻域族。本文主要研究的集值向量优化问题如下:
(VP) minF(x) s.t.x∈A，
其中F:A→→Y是集值映射。
定义1[9] 设E是Y中的非空集合。若0∉E且E+K=E，则称E是关于K的改进集。
定义2[10] 设E是关于K的改进集。若
∈A，∃
∈F()使得(F(A)-)∩(-E)=∅，则称是问题(VP)的E-最优解，(VP)所有E-最优解构成的集合记为O(A，E)。
注1[17] ∈A是E-最优解当且仅当∃∈F()，使得-y∉E，∀y∈F(A)。
定义3[11] 设E是关于K的改进集。若∈A，∃∈F()使得
clcone(F(A)+E-))∩(-K)={0}，
则称是问题(VP)的E-Benson真有效解，(VP)所有E-Benson真有效解构成的集合记为BE(A，E)。
注2[11] 设E是关于K的改进集，BE(A，E)⊂O(A，E+K0)。
定义4[12] 设E是关于K的改进集。∈A，∃∈F()，若∀V∈N(0)，∃U∈N(0)使得
cone(F(A)+E-)∩(U-K)⊆V，
则称是问题(VP)的E-超有效解，(VP)所有E-超有效解构成的集合记为SE(A，E)。
注3[12] 设E是关于K的改进集，SE(A，E)⊂BE(A，E)。
定义5[18] 令p:Y→R，p是Y上的一个半范数当且仅当
p(λy)=|λ|p(y)，∀λ∈R，∀y∈Y
且
p(y1+y2)≤p(y1)+p(y2)，∀y1，y2∈Y.
设A是Y中的集合，面向距离函数ΔA(y):Y→R∪{±¥}定义为
ΔA(y)=dA(y)-dY\A(y)，
其中d∅(y)=+¥，dA(y)=
‖z-y‖。
引理1[17] 设E是Y中关于K的改进集且E非空，那么
(1)ΔE是实值的;
(2)ΔE是1-Lipschitz的;
(3)ΔE≥0;
(4)ΔE<0，∀y∈intE;ΔE=0，∀y∈bdE;ΔE>0，∀y∈intY\E;
(5)若E是闭的，则E={y:ΔE≤0}成立;
(6)若E是凸的，则ΔE是凸的;
(7)若E是锥，则ΔE是正齐次的。
给定下面数值优化问题:
(
)minΔ-E(x-x0)，x∈A，x0∈Y.
引理2[17] 若x0是()的一个解，0∈clE，则x0∈O(A，E)。
2 半范数下E-超有效解的非线性标量化
定理1 设E是Y中关于K的改进集，∈A，∈F()。若是问题(VP)的E-超有效解，则对于Y上的任意半范数p，存在Y上的一个半范数q，使得对满足y1-y+-e∈K的任意y1∈Y，x∈A，y∈F(x)，e∈E，有
p(y-+e)≤αq(y1)
成立。
证明 设p是Y上的一个半范数，取定α>0，令V:=
。对h∈Y，记
:=
∀λ∈[0，]，有λh∈V，从而V是可吸收的。
对任何x，y∈V，0<λ<1，有p(-x)=p(x)，且p(λx+(1-λ)y)=λp(x)+(1-λ)p(y)，故V是均衡的凸集。综上V是一个均衡可吸收凸集，因而V是一个凸的零邻域，即V∈N(0)。
由于是(VP)的E-超有效解，则对上述V，存在U∈N(0)，使得
cone(F(A)-+E)∩(U-K)⊆V.(1)
对y∈Y，易知q(y):=
是Y上的一个半范数。对满足y1-y+-e∈K的任意y1∈Y，x∈A，y∈F(x)，e∈E，存在k∈K，使得
y1-y+-e=k.(2)
由半范数q的定义，∀β>0，存在t1∈满足y1∈t1U，且t1<q(y1)+β，即
y1∈U。据(2)可知y-+e=y1-k，再结合(1)可得
(y-+e)=(y1-k)
=y1-k∈U-K⊆V.(3)
由p(y)的定义有
p
≤α，
即
p(y-+e)≤α(q(y1)+β).
令β→0+可得
p(y-+e)≤α(q(y1)).
结论得证。
定理2 设E是Y中关于K的改进集，α>0，∈A，∈F()。若对于Y上的任意半范数p，存在Y上的一个半范数q，使得对满足y1-y+-e∈K的任意y1∈Y，x∈A，y∈F(x)，e∈E，有p(y-+e)≤αq(y1)成立，则是问题(VP)的E-超有效解。
证明 令V∈N(0)且V是凸集，从而V⊆Y是一个均衡可吸收凸集，p:Y→R定义如下:
p(y)=
，
易知p是Y上的一个半范数。
对α>0，由假设可知，存在Y上的一个半范数q，使得对满足y1-y+-e∈K的任意y1∈Y，x∈A，y∈F(x)，e∈E，有
p(y-+e)≤αq(y1)
成立，则对任意y2∈{y∈Y|p(y)<α}，可知y2∈Y且p(y2)<α，即α-p(y2)>0。于是存在t2∈满足y2∈t2V，使得
0≤t2≤p(y2)+(α-p(y2))=α
成立，则有y2∈t2V⊆αV，即
{y∈Y|p(y)<α}⊆αV.(4)
令U:=
，易知U是Y上的均衡可吸收凸集，从而U∈N(0)。
对任意y3∈cone(F(A)-+E)∩(U-K)，则有(ⅰ)若y3=0，则y3∈V;(ⅱ)若y3≠0，则∃r>0，
∈F(A)，u∈U，
∈K，e∈E，使得
y3=r(-+e)=u-，(5)
于是有
u-(--e)=
∈K。由假设可得p(-+e)≤αq
，即p(r(-+e))≤αq(u)<1。由(5)知p(y3)<1，则有
p(αy3)<α(6)
由(4)和(6)可得αy3∈αV，即y3∈V。
综上，cone(F(A)-+E)∩(U-K)⊆V，即是(VP)的E-超有效解。
由定理1和定理2可知下述的推论成立:
推论1 设E是Y中关于K的改进集，令∈A，∈F()。若是问题(VP)的E-超有效解，当且仅当对于Y上的任意半范数p，α>0，存在Y上的一个半范数q，使得对满足y1-y+-e∈K的任意y1∈Y，x∈A，y∈F(x)，e∈E，有p(y-+e)≤αq(y1)成立。
3 距离函数对E-超有效解的非线性标量化刻画
定理3 设E是Y中关于K的改进集，∈A，∈F()。若是(VP)的E-超有效解，则∃L>0，使得d-E(y-)≥L‖y-+e‖，∀y∈F(A)。
证明 因∈A是(VP)的E-超有效解，故∀V∈N(0)，∃U∈N(0)，使得
cone(F(A)-+E)∩(U-K)⊆V
成立。即∃M>0，使得V=MU，从而有
cone(F(A)-+E)∩(U-K)⊆MU(7)
上式可等价表示为∀y∈F(A)，k∈K，e∈E，有
‖y-+e‖≤M‖y+k-+e‖(8)
成立。
若(7)不成立，则∃λ>0及∈F(A)，
∈U，
∈K，
∈E，使得
λ(-+)=-(9)
且
λ‖-+‖>M.(10)
由(9)可得‖λ(-+)+‖≤1，整理得到
‖-++
‖≤
，(11)
再由(10)可知
‖-+‖>
(12)
结合(11)、(12)两式，则有
‖-+‖>≥M‖-++‖，(13)
令=，由(13)可知(8)不成立。
若(8)不成立，则∃∈F(A)，∈K，∈E，使得
‖-+‖>M‖-++‖.(14)
对‖-++‖分情况讨论:
(ⅰ)若‖-++‖=0，则有=++，故
‖-+‖=‖-(++)+‖=‖-‖.
令λ:=
，则有
l=λ(-+)∈cone(F(A)-+E)∩(U-K)，而‖l‖=·‖-‖=2M>M，所以(7)不成立。
(ⅱ)若‖-++‖≠0，则∃∈U，使得-++=‖-++‖，则
s:=
=
=b-
∈cone(F(A)-+E)∩(U-K).
由(14)得‖s‖>M，故s∉MU，因而(7)不成立。
综上可得(7)与(8)等价。
取L=
，则有
‖y+k-+e‖≥L‖y-+e‖
由于E是改进集，故∃e1∈E满足e1=e+k，使得
‖y-+e1‖≥L‖y-+e‖(15)
成立。对任意的y∈F(A)，上式等价于
d-E(y-)=
‖y-+e1‖
≥L‖y-+e‖. (16)
结论得证。
定理4 设E是Y中关于K的改进集且E=E+K0。若∈A是(VP)的E-超有效解，∈F()，则∃L>0，使得
Δ-E(y-)≥L‖y-+e‖，∀y∈F(A)
成立。
证明 由于E=E+K0，结合注2注3可得SE(A，E)⊂O(A，E)。由注1可知，若∈A是(VP)的E-超有效解，则∃∈F()，使得-y∉E，∀y∈F(A)，从而Δ-E(y-y0)=d-E(y-y0)。根据定理3可知Δ-E(y-)≥L‖y-+e‖。
结论得证。
定理5 设E是Y中关于K的改进集，∈A，∈F()。若∃L>0，使得
d-E(y-)≥L‖y-+e‖，∀y∈F(A)，
则是(VP)的E-超有效解。
证明 由距离函数定义可知
d-E(y-)=‖y-+e1‖，∀y∈F(A).(17)
又∃L>0，使得d-E(y-)≥L‖y-+e‖成立，故(17)式等价于
‖y-+e1‖≥L‖y-+e‖，
即‖y-+e1‖≥L‖y-+e‖，∀e1∈E。
令M=
，e1∈E=E+K，则∃e∈E，k∈K，满足e1=e+k，则有
‖y-+e‖≤M‖y+k-+e‖.
根据定理3中(7)与(8)等价，所以有
cone(F(A)-+E)∩(U-K)⊆MU.
取V=MU，则有
cone(F(A)-+E)∩(U-K)⊆V，
即∈A是(VP)的E-超有效解。
结论得证。
由定理3和定理5可得下面的推论2:
推论2 设E是Y中关于K的改进集，∈A，∈F()。是(VP)的E-超有效解当且仅当∃L>0，使得d-E(y-)≥L‖y-+e‖，∀y∈F(A)。
定理6 设E是Y中关于K的改进集，0∈clE，x0∈A是标量化问题()的一个解，y0∈F(x0)。若∃L>0，使得
Δ-E(y-y0)≥L‖y-y0+e‖，∀y∈F(A)
成立，则x0∈A是(VP)的E-超有效解。
证明 设x0∈A是标量化问题()的一个解，由引理2可知x0∈O(A，E)。根据注1可得y0-y∉E，从而Δ-E(y-y0)=d-E(y-y0)。又已知Δ-E(y-y0)≥L‖y-y0+e‖，则有
d-E(y-y0)≥L‖y-y0+e‖.
由定理5可得，x0∈A是(VP)的E-超有效解。
结论得证。
由定理4和定理6可得如下结论:
推论3 设E是Y中关于K的改进集，E=E+K0，0∈clE。x0∈A是标量化问题()的一个解，y0∈F(x0)。x0∈是(VP)的E-超有效解当且仅当∃L>0，使得
Δ-E(y-y0)≥L‖y-y0+e‖，y∈F(A).
4 结论
本文利用半范数p和距离函数d的性质对集值向量优化问题的E-超有效解进行非线性标量化刻画，并在E=E+K0的条件下利用E-最优解与E-超有效解之间的关系，进一步得出E-超有效解在基于改进集E的面向距离函数Δ-E刻画下的非线性标量化结果。在本文中基于改进集E的面向距离函数Δ-E相关的结论是在一定的条件下取得的。在没有这些假设条件下，能否得到相同结论是有待进一步研究的问题。例如，能否在没有E=E+K0的条件下直接得到E-最优解与E-超有效解之间的关系。
利益冲突: 作者声明无利益冲突。
[②] *通讯作者 Corresponding author:李飞，lif@imu.edu.cn
收稿日期:2023-04-23; 录用日期:2023-05-18; 发表日期:2023-06-28
基金项目:国家自然科学基金项目(No.11601248)资助
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Nonlinear Scalarization Characterizations of E-Super Efficient Solution of Set-valued Vector Optimization Problem
(School of Mathematical Sciences, Inner Mongolia University, Hohhot 010021, China)
Abstract: Abstract: In the study of vector optimization problems, the concept of (weakly) effective solution based on the definition of order cone and its properties play a very important role. The concept of superefficient solution is the unification of several existing concept of properly efficient solutions, while the E- super efficient solution of the vector optimization problem proposed based on the improvement set is an important extension of the classical concept of superefficient solution, which unifies the concepts of superefficient solution and ε-super efficient solution. Therefore, it is of great significance to study the E- super efficient solution and its related properties for the study of vector optimization problems. This paper mainly focuses on the relevant conditions of nonlinear scalarization characterization of E- super efficient solution: firstly, a sufficient and necessary condition for the nonlinear scalarization characterization about the E- super efficient solution of the set-valued vector optimization problem is obtained through the corresponding property of the seminorm p; secondly, the corresponding property of the distance function d is used to obtain another sufficient and necessary condition for the nonlinear scalarization characterization of the E- super efficient solution; then, according to the relationship between the E-optimal solution and the E-super efficient solution, a sufficient condition for the results of nonlinear scalarization characterization of the E- super efficient solution is derived by means of the distance-oriented function Δ-E which based on the improved set E under the condition of E=E+K0; finally, under the condition of 0∈clE, the distance-oriented function Δ-E is used to obtain a necessary condition for the nonlinear scalarization result of E- super efficient solution, and the corresponding sufficient and necessary result is deduced.
Keywords: Set-valued vector optimization, improvement set, E-super efficient solution, nonlinear scalarization, seminorm, distance-oriented function
DOI: 10.48014/fcpm.20230420001
Citation: LUO Fengya, LI Fei. Nonlinear scalarization characterizations of E- super efficient solution of setvalued vector optimization problem[J]. Frontiers of Chinese Pure Mathematics, 2023, 1(1): 14-20.